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Triângulo Áureo e o logotipo da VI Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática

Seja [ABC um triângulo isósceles com lados de comprimento  a=|AB|=|AC| e b = |BC|. Este é chamado de triângulo áureo se a razão a/b for a razão áurea: a/b = j. Se tivermos que a/b = 1/ j, então o triângulo é chamado de gnomon áureo.

Usando trigonometria básica e considerando que a razão áurea satisfaz a igualdade j =1 + 1/ j, é possível verificar que um triângulo áureo possui um ângulo com medida p/5 e os dois ângulos da base com medida 2 p/5. Já um gnomon áureo possui os dois ângulos da base com medida p/5 e o terceiro ângulo com medida 3 p/5. 

Se considerarmos a bissetriz de um dos ângulos da base, digamos do ângulo Ĉ, esta intercepta o lado oposto AB em um ponto D, formando dois triângulos: [ACD e [CBD. Usando semelhança de triângulos e lembrando que j =1 + 1/ j, não é difícil ver que [ACD é um gnomon áureo e [CBD é um triângulo áureo.

A bissecção sucessiva dos ângulos da base gera uma sequência de triângulos e gnomons áureos, sequência que dá origem ao logotipo da VI Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática.

Assim como o retângulo áureo, que dá origem ao logotipo da Sociedade Brasileira de Matemática, o triângulo áureo também surge em diversas situações: os triângulos formados em um pentagrama regular são áureos, um decágono regular é formado por 10 triângulos áureos e o Ladrilhamento de Penrose é formado por dois tipos de ladrilhos, ambos paralelogramos, um formado por dois triângulos áureos e outro por dois gnomons áureos.

Referências.

Ávila, G. (1985) Retângulo áureo, divisão áurea e sequência de Fibonacci. RPM 6.

Carvalho, J. (2008) Razão áurea. Monografia do Curso de Especialização, UFMG.

Garcia, V., Serres, F., Magro, J., Azevedo, T. O número de ouro como instrumento de aprendizagem significativa no estudo dos números irracionais. Instituto de Matemática, UFRGS.

Sallum, E. Ladrilhamentos. Matemateca, USP.